Eratóstenes: Medida de la circunferencia de la Tierra.

En esta nueva entrada calcularemos el radio de la Tierra como lo hizo Eratóstenes, pero en vez de con sombras de obeliscos, lo haremos con sombras de gnomons. Para realizar esta experiencia, necesitaremos una buena toma de datos y comunicarnos con otro colegio para que nos pase sus medidas tomadas (es muy importante que sus medidas las hayan tomado el mismo día que nosotros), y podamos calcular la medida del radio de la Tierra aplicando una serie de cálculos.

Proceso de medida de la circunferencia de la Tierra:

Como lo hizo Eratóstenes:

Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría. Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes, para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.

Fallos que realizó Eratóstenes:

1. Supuso que la Tierra es perfectamente esférica, lo que no es cierto. Un grado de latitud no representa exactamente la misma distancia en todas las latitudes, sino que varía ligeramente de 110,57 km en el Ecuador hasta 111,7 km en los Polos. Por eso no podemos suponer que 7º entre Alejandría y Siena representen la misma distancia que 7º en cualquier otro lugar a lo largo de todo el meridiano.
2. Supuso que Siena y Alejandría se encontraban situadas sobre un mismo meridiano, lo cual no es así, ya que hay una diferencia de 3 grados de longitud entre ambas ciudades.

3. La distancia real entre Alejandría y Siena (hoy Asuán) no es de 924 km (5000 estadios ático-italiano de 184,8 m por estadio), sino de 843 km (distancia aérea y entre los centros de las dos ciudades), lo que representa una diferencia de 81 km.
4. Realmente Siena no está ubicada exactamente sobre el paralelo del trópico de cáncer (los puntos donde los rayos del sol caen verticalmente a la tierra en el solsticio de verano). Actualmente se encuentra situada a 72 km (desde el centro de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la Tierra fluctúan entre 22,1 y 24,5º en un período de 41000 años, hace 2000 años se encontraba a 41 km.
5. La medida de la sombra que se proyectó sobre la vara de Eratóstenes hace 2.200 años debió ser de 7,5º o 1/48 parte de una circunferencia y no 7,2º o 1/50 parte. Puesto que en aquella época no existía el cálculo trigonométrico, para calcular el ángulo de la sombra, Eratóstenes pudo haberse valido de un compás, para medir directamente dicho ángulo, lo que no permite una medida tan precisa.

Como lo hicimos nosotros:

Lo primero de todo es realizar la toma de datos con nuestro gnomon. Para hacer esto, lo que hicimos fue coger un gnomon de 78,25 cm y ponerlo en el patio del colegio de manera que proyectara una sombra. Estuvimos el 21 de septiembre desde las 12:30 hasta las 15:20 de la tarde tomando medidas de la sombra del gnomon cada 5 minutos.

(En esta imagen se puede ver la toma de datos de la sombra de nuestro gnomon)

Al terminar la toma de datos, medimos con una regla la longitud de la sombra proyectada por el gnomon a las 14:06:00 de la mañana (hora cenit). Esta medida resultó ser de 67,3 cm. A continuación, lo que hicimos fue medir el ángulo superior del triángulo formado por el gnomon, su sombra y los extremos de estos. Para realizar este cálculo utilizamos la siguiente fórmula para medir ángulos:

El cateto opuesto del ángulo que queremos calcular del triángulo es la sombra del gnomon (s), y el cateto adyacente es el gnomon (d). Aplicando la fórmula, tangente de α es igual a cateto opuesto (67,3 cm) entre cateto adyacente (78,25 cm), nos da como resultado que el ángulo (α) es de 40,7º (este ángulo es necesario para más tarde).

Después de obtener el ángulo que queríamos, tuvimos que comunicarnos con otro colegio situado en Valencia (Instituto De Educación Secundaria Ies Doctor Peset Aleixandre, latitud 39º 30’ 0’’ N, longitud 0º 26’ 0’’ O) que hicieron la misma experiencia que nosotros. Están situados a 363 km de nosotros, ya que nosotros hicimos nuestra toma de datos en Alcobendas, Madrid.

Este otro colegio nos dio sus datos de la medición, el cual decía que la altura de su gnomon era 35 cm y la longitud de la sombra era de 27,5 cm. Así que el ángulo necesario con sus datos era de 38,2º. Lo siguiente que hicimos fue restar ambos ángulos para ver cuántos grados medía la distancia que nos separaba (40,7º - 38,2º = 2,5º.)

Y después hicimos una proporción entre la diferencia de ángulos (2,5º) y la distancia que separaba nuestros colegios (363 km), y el ángulo total de la Tierra (360º) y su perímetro (X km), para hallar el perímetro de la Tierra y luego, con la fórmula del perímetro de circunferencias (2 · π · R), calculamos el radio:

X = (360º · 363 km) / 2,5º

X = 52.272 Km

2 · π · R = 52.272 Km

R = 8.319 Km

El perímetro real de la Tierra es de 40.075 km, así que su radio es de 6.371 km. El radio que hemos calculado nosotros (8.319 km) y el radio real (6.371 km), son diferentes porque habremos cometido algún error en la toma de datos o en el redondeo de decimales.